Question

求原函数的过程是不是就是积分？找不到原函数的函数怎么办？求大神们解释

Answer 1

1、一般来说，笼统来说，求原函数确实是求积分；

2、求积分，我们又总是想到先求不定积分，而不定

     积分又常常有积不出来的情况；

3、在特殊情况下，如上表，定积分却可以积出来。

总而言之：

求原函数就是求积分；求定积分、不定积分的方法，不完全等同。

追问

e,这图我的手机看不清能简单的说一下为什么是笼统的说？有特殊情况的话，求的又是什么？

追答

1、求原函数，确实是求积分，经常是先求出原函数，在代入上下限。

2、但是这个方法，并不普遍可行，例如 (sinx)/x 的积分、e^(-x^2) 的
原函数，在现在的理论中，是不存在的。也就是无法积分积出来的，
只有考虑了特别的条件后，譬如特殊极限，譬如边界条件等等，才有
可能积分积出来。

3、我前面所说的大概、笼统的含义，就是要防止出现下面的话：

求原函数，就是积分，积出原函数；如果是定积分，再代入上下限。

上面的话，大多数情况下，是对的。正因为有时候是不对的，西洋
理论微积分中，才会又发展出很多其他理论，例如广义积分、积分
变换(如拉氏变换)、复变函数、、、、。

所以，求原函数就是求积分，是一个一般的概念性的说法。
英文是，in general，generally，in concept，in principle，
theoretically。不知道这样解说，您明白了没有？

追问

就是说因为有没有原函数的函数，所以这种函数在特殊情况下积分就不是用求原函数的方法了，对吧？求原函数求积分也就是大都存在与应试题目中，对吧？

追答

是这样。

一般求原函数，确实是有原函数可求；
而对于很多不定积分，不是先求出原函数，再代入上下限，
而是可以算出来一个具体的数值，但不是一个具体的函数。

因为定积分，根据定义是计算一个具体的数值结果。在具体
的计算方法上，如果有原函数，只要考虑函数单调不单调，
考虑积分区域会不会出现竖直渐近线，只要没有这些问题，
就代入上下限。但是经常会出现没有原函数的情况，但是
运用别的方法后，照样可以得到一个合理的数值结果。

理论上，为了整合，经常将没有原函数的被积函数，展开成
一串无穷级数，然后逐项积分。这只是在现有的理论中的一
种近似approximation。

追问

ee，懂了。好评率有90％以上的用户，真给力！感谢你的指点。