Question

编制用牛顿法解非线性方程的通用方程

Answer 1

　求非线性方程（组）零点的一种重要的迭代法，又称牛顿－拉弗森法或切线法。其要点是：若在非线性方程�0�6(x)＝0的零点x＝x*邻域内，函数 �0�6(x)连续可微且�0�6┡(x)不为零,xn(n=0,1,2,…)是x*的近似值,则在此邻域，用线性函数

近似代替�0�6(x),并以T(x)的零点

作为x*的新的近似值。这种通过构造序列x1,x2,…来近似x*的方法就是牛顿法。若�0�6(x)是实函数,x*是实数,则牛顿法有明确的几何意义：过点(xn,�0�6(xn))作曲线y =�0�6(x)的切线T，将T与x轴的交点xn+1作为x*的新近似值。对于非线性方程组，x和 �0�6(x)分别为矢变量和矢量函数，【�0�6┡(x)】-1为�0�6(x)的雅可比矩阵的逆矩阵。由牛顿法构造的序列x1,x2，…收敛于x*的充分条件是：①在x*的邻域内�0�6┡(x)存在且满足李普希兹条件，即对x*邻域内的任意x┡、x″，有,式中0〈α〈1；②【�0�6┡(x*)】-1存在；③初始近似值x0充分接近x*。在上述条件下,x1,x2,…收敛于x*的速度不低于二阶。为了减弱收敛性对�0�6 的要求,提高收敛速度或减少计算量,牛顿法有许多变形，如修正牛顿法和拟牛顿法。