Question

如图，AB是等腰直角三角形ABC的斜边，若点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN将△MCN翻折

，使点C落在边AB上，设其落点为P． (1)当点P是边AB的中点时，求证：PA/PB=CM/CN (2)当P不是边AB的中点时，PA/PB=CM/CN是否仍然成立？请证明你的结论．

Answer 1

1、证明：因为P是AB中点，

所以：AP/PB=1,

因为：P点是C点沿直线MN折叠的落点，

所以：MN垂直平分PC,

所以：CM=MP,

由AP=BP得∠ACP=∠BCP=45°

所以：CM=MN

所以：CM/CN=1

所以：PA/PB=CM/CN

2、结论仍然成立。

证明：

过P点分别作AC,BC的垂线PE,PD.E,D是垂足。过C作CF垂直AB,F是垂足。则：

S△APC=(1/2)AC*PE=（1/2)AP*CF

S△BPC=(1/2)BC*PD=(1/2)BP*CF

而AC=BC

所以：PE/PD=AP/BP

由∠MCN=∠MPN=90°知MCNP四点共元

所以：∠PME=∠PND

所以：RT△PEM∽RT△PDN

所以：PE/PD=PM/PN

而PM=MC,PN=NC

所以：PE/PD=MC/NC

所以：AP/BP=MC/NC