Question

f（x）在【a,b】上连续，且f（x）＞0证明:在（a,b）内有钱仅有一点§，使得∫（a,§）f（

f（x）在【a,b】上连续，且f（x）＞0证明:在（a,b）内有钱仅有一点§，使得∫（a,§）f（x）dx=∫（§,b）1/f（x）dx

Answer 1

一个零点的证明可考虑用介值定理+单调性

1. 证明至少一个零点
令F(x)=∫{a,x}f(t)dt-∫{x,b}1/f(t)dt，a≤x≤b
∵f(x)在[a,b]连续，且f(x)>0，∴F(x)在[a,b]可导(当然也是连续的)
而F(a)= -∫{a,b}1/f(t)dt<0，F(b)= ∫{a,b}f(x)dx>0
由连续函数介值定理可知，至少存在一点ξ∈(a,b)，使得F(ξ)=0
即∫{a,ξ}f(x)dx=∫{ξ,b}1/f(x)dx

2. 证明只有一个零点
∵F’(x)=f(x)+1/f(x)>0，∴F(x)在[a,b]上单调增加
因此，有且只有一点ξ∈(a,b)，使得F(ξ)=0
即∫{a,ξ}f(x)dx=∫{ξ,b}1/f(x)dx

追问

哇好厉害

谢谢你

追答

不用谢

追问

假设f（x）与g（x）均为【a,b】上的连续函数，试证明:至少存在一点§属于（a,b），使得f（§）∫（§,b）g（x） dx=g（§）∫（a,§）f（x） dx

这个怎么做

追答

若直接令F(x)=f(x)*∫{x,b}g(t)dt-g(x)*∫{a,x}f(t)dt，困难较大
下面尝试用原函数法：
若f(x)与g(x)在[a,b]上有一个恒为零，所证结论显然成立
若f(x)与g(x)在[a,b]上都不恒为零，将ξ换为x，可得
f(x)/∫{a,x}f(t)dt=g(x)/∫{x,b}g(t)dt　　　①
注意到[∫{a,x}f(t)dt]’=f(x)，[∫{x,b}g(t)dt]’=-g(x)
将①式两边对x积分，即∫[f(x)/∫{a,x}f(t)dt]dx=∫[g(x)/∫{x,b}g(t)dt]dx
可得∫d[∫{a,x}f(t)dt]/∫{a,x}f(t)dt=-∫d[∫{x,b}g(t)dt]/∫{x,b}g(t)dt
故ln|∫{a,x}f(t)dt |=-ln|∫{x,b}g(t)dt |+lnC₁
整理得∫{a,x}f(t)dt*∫{x,b}g(t)dt=C，令C=±C₁

再令F(x)=∫{a,x}f(t)dt*∫{x,b}g(t)dt，a≤x≤b
显然F(a)=0，F(b)=0
∵f(x),g(x)在[a,b]上连续，∴F(x)在[a,b]可导
由罗尔定理可知，至少存在一点ξ∈(a,b)，使得F’(ξ)=0
∵F’(x)=[∫{a,x}f(t)dt]’*∫{x,b}g(t)dt+∫{a,x}f(t)dt*[∫{x,b}g(t)dt]’
= f(x)*∫{x,b}g(t)dt-g(x)*∫{a,x}f(t)dt
∴F’(ξ)= f(ξ)*∫{ξ,b}g(t)dt-g(ξ)*∫{a,ξ}f(t)dt=0
即f(ξ)*∫{ξ,b}g(t)dt=g(ξ)*∫{a,ξ}f(t)dt
综上，至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(ξ)*∫{ξ,b}g(t)dt=g(ξ)*∫{a,ξ}f(t)dt

追问

你好厉害

大学老师？

我想问一下，就是乘积的因子可以等价无穷小，那么和，商捏能？可以吗？

追答

什么叫＂乘积的因子可以等价无穷小＂？

追问

limab=lima1b1

b为b1的等价无穷小

a为a1的等价无穷小

a为a1的等价无穷小

b为b1的等价无穷小

追答

为说明方便，用0代表无穷小量
1. 0×0型与0/0型的可直接代换
2. 0+0型的，取低阶的代换(若两者同阶，则同时代换)
例如：sinx~x，1-cosx~1/2*x²，sinx+(1-cosx) ~ x
sinx~x，tanx~x，sinx+tanx~ x+x=2*x
3. 0-0型的，要分两种情况：
①若两者不为等价无穷小，按2的方法处理
例如：sinx-(1-cosx) ~ x
sinx~x，2*tanx~2*x，sinx-2*tanx~x-2*x= -x
②若两者为等价无穷小，一般不能直接代换，原因是两者的差将是更高阶的无穷小
例如：tanx~x，x~x，而tanx-x~1/3*x³
1-cosx ~1/2*x²，1/2*x²~1/2*x²，而1-cosx -1/2*x²~-1/24*x⁴

追问

sinx-（1-cosx）~x

为什么

追答

不同阶的求和，总的阶是由低阶的决定的
证明：设y为某一变化过程的无穷小量，且y~x^n，其高阶无穷小表示为o(y)
lim{n→∞}[y+o(y)]/ x^n= lim{n→∞}y/ x^n+ lim{n→∞}o(y)/ x^n
=1+ lim{n→∞}o(y)/y (y~x^n)
=1+0
=1
即y+o(y) ~y
类似可以得到：y-o(y) ~y

追问

Answer 2

这是高中题目不？

追问

高数

定积分

追答

哦

大学的啊

追问

嗯

追答

看着好熟悉，

现在不会了

追问

我也不会~\(≧皿≦)/~

追答

看看参考答案

追问

没有答案