Question

已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足6Sn=(an+1)(an+2)，n∈N+， 且a

已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足6Sn=(an+1)(an+2)，n∈N+，
且a2 a4 a9成等比数列
(Ⅰ)求{an}的通项公式；
Ⅱ 设bn=-1的n+1次方乘以an乘以a（n+1） Tn为数列bn的前n项和 求T2n

Answer 1

（I）解：n=1时，6a1=a12+3a1+2，且a1＞1，解得a1=2．
n≥2时，6Sn=an2+3an+2，6Sn-1=an-12+3an-1+2，两式相减得（an+an-1）（an-an-1-3）=0，
∵an+an-1＞0，
∴an-an-1=3，
∴{an}为等差数列，
∵a1=2，
∴an=3n-1．
（II）证明：∵数列{bn}满足an(2bn−1)＝1，
∴bn＝log2
3n
3n−1

∴Tn=b1+b2+…+bn=log2(
3
2
×
6
5
×…×
3n
3n−1
)
要证2Tn+1＜log2（an+3），即证2log2(
3
2
×
6
5
×…×
3n
3n−1
)+1＜log2（an+3）
即证(
3
2
×
6
5
×…×
3n
3n−1
)2＜
3n+2
2

即证
2(
3
2
×
6
5
×…×
3n
3n−1
)2

3n+2
＜1
令cn＝
2(
3
2
×
6
5
×…×
3n
3n−1
)2

3n+2
，
∴
cn+1
cn
＝
9n2+18n+9
9n2+21n+10
＜1
∵cn＞0，∴cn+1＜cn，
∴{cn}是单调递减数列
∴cn≤c1＝
2×(
3
2
)2

3×1+2
＝
9
10
＜1
∴cn＝
2(
3
2
×
6
5
×…×
3n
3n−1
)2

3n+2
＜1
故2Tn+1＜log2（an+3）．

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