已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当X<0时,f(x)=x^2+2x。
问:是否存在实数a、b(a≠b),使f(x)在x∈[a,b]时,函数值的集合为[1/a,1/b]?若存在,求出a,b;若不存在,请说明理由。...
问:是否存在实数a、b(a≠b),使f(x)在x∈[a,b]时,函数值的集合为[1/a,1/b]?若存在,求出a,b;若不存在,请说明理由。
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解答:
晕,都是这么复杂的题目
定义在R上的奇函数,f(0)=0
图像关于原点对称。
x>0时,f(x)=-x^2+2x
作出示意图如下:
(1)a<b≤-1
f(x)是减函数
则f(a)=1/b
f(b)=1/a
∴ a^2+2a=1/b
b^2+2b=1/a
两式子相减,化简
a+b+2=1/(ab)
前面小于0,后面大于0,不可能
(2)a≤-1<b≤0
此时最小值是-1
即 1/a=-1
∴ a=-1
此时 f(b)=1/b
∴ b^2+2b=1/b
∴ b^3+2b^2-1=0
∴ (b+1)(b^2+b-1)=0
∴ b=-1(舍),b=(-1-√5)/2 (舍)b=(-1+√5)/2 (满足)
∴ b=(-1+√5)/2
(3)a≤-1,0<b≤1
此时最小值是-1
即 1/a=-1
∴ a=-1
此时 f(b)=1/b
∴ -b^2+2b=1/b
∴ b^3-2b^2+1=0
∴ (b-1)(b^2-b+1)=0
∴ b=1,b=(1-√5)/2 (舍负)b=(1+√5)/2 (大于1,此时最大值是1,不是1/b)
∴ b=1
晕,情况太复杂了。
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