Question

已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当X<0时，f（x)=x^2+2x。

问：是否存在实数a、b(a≠b),使f(x)在x∈[a，b]时，函数值的集合为[1/a,1/b]？若存在，求出a，b；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解答：

晕，都是这么复杂的题目

定义在R上的奇函数，f(0)=0

图像关于原点对称。

x>0时，f(x)=-x^2+2x

作出示意图如下：

（1）a<b≤-1

f(x)是减函数

则f(a)=1/b

   f(b)=1/a

∴ a^2+2a=1/b

    b^2+2b=1/a

两式子相减，化简

a+b+2=1/(ab)

前面小于0，后面大于0，不可能

（2）a≤-1<b≤0

此时最小值是-1

即 1/a=-1

∴ a=-1

此时 f(b)=1/b

∴ b^2+2b=1/b

∴ b^3+2b^2-1=0

∴ (b+1)(b^2+b-1)=0

∴ b=-1（舍），b=(-1-√5)/2  （舍）b=(-1+√5)/2  （满足）

∴ b=(-1+√5)/2

（3）a≤-1，0<b≤1

此时最小值是-1

即 1/a=-1

∴ a=-1

此时 f(b)=1/b

∴ -b^2+2b=1/b

∴ b^3-2b^2+1=0

∴ (b-1)(b^2-b+1)=0

∴ b=1，b=(1-√5)/2  （舍负）b=(1+√5)/2  （大于1，此时最大值是1，不是1/b）

∴ b=1

晕，情况太复杂了。

Answer 2

存在 a=-1 b=1