Question

如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点。求证：AB²-AP²=PB×PC

Answer 1

P是BC延长线任一点，连接AP，并做AD⊥BC，交BC于D，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD，

在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，

在Rt△ADP中，AP2=AD2+DP2，

∴AP2-AB2=（AD2+BD2）-（AD2+DP2）=PD2-BD2，

又∵BP=BD+DP，CP=DP-CD=DP-BD，

∴BP?CP=（BD+DP）（DP-BD）=DP2-BD2，

∴AP2-AB2=BP?CP．

扩展资料：

证明

∵ DF⊥ BCDG ⊥ AC

∴ D，F，G，C四点共圆

因此 ∠AGT = ∠FDC = 90° - ∠FCD = 90° -∠BAD = 90° - ∠CAQ

从而 ∠ATG = 90°即 AQ ⊥ EF

参考资料来源：百度百科-等角线

Answer 2

解：过A作AF⊥BC于F．
在Rt△ABF中，AF²=AB²-BF²；

在Rt△APF中，AF²=AP²-FP²；
则AB²-BF²=AP²-FP²；
即AB²-AP²=BF²-FP²=(BF+FP)(BF-FP)；
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=FC(三线合一)；
∴BF+FP=CF+FP=PC，BF-FP=BP；
∴AB²-AP²=BP•PC．