如图所示,三角形ABC为任意三角形,以边AB、AC为边分别向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE
如图所示,三角形ABC为任意三角形,以边AB、AC为边分别向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD、BE并且相交于点P.求证(1)CD=BE(2)角BPc=12...
如图所示,三角形ABC为任意三角形,以边AB、AC为边分别向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD、BE并且相交于点P. 求证(1)CD=BE (2)角BPc=120°
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证明:(1)∵以AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△AC,
∴AD=AB,AE=AC,∠ACE=∠AEC=60°,∠DAB=∠EAC=60°,
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC,
∴∠DAC=∠BAE,
在△DAC和△BAE中,
AD=AB∠DAC=∠BAEAC=AE,
∴△DAC≌△BAE(SAS),
∴CD=BE;
(2)∵△DAC≌△BAE,
∴∠BEA=∠ACD,
∴∠BPC=∠ECP+∠PEC
=∠DCA+∠ACE+∠PEC
=∠BEA+∠ACE+∠PEC
=∠ACE+∠AEC
=60°+60°
=120°.
∴AD=AB,AE=AC,∠ACE=∠AEC=60°,∠DAB=∠EAC=60°,
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC,
∴∠DAC=∠BAE,
在△DAC和△BAE中,
AD=AB∠DAC=∠BAEAC=AE,
∴△DAC≌△BAE(SAS),
∴CD=BE;
(2)∵△DAC≌△BAE,
∴∠BEA=∠ACD,
∴∠BPC=∠ECP+∠PEC
=∠DCA+∠ACE+∠PEC
=∠BEA+∠ACE+∠PEC
=∠ACE+∠AEC
=60°+60°
=120°.
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