如果n阶行列式中等于零的元素个数大于n^2-n,那么此行列式的值为多少?要详细过程
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可以这样思考:n阶行列式总共有n²个元素,现在0的个数大于n²-n,相当于把每个元素都为0的n阶行列式中的一部分(少于n个)元素换成非0元,显然行列式有n行n列,现在少于n个数,必然存在某行或某列全为0元,也就得出此行列式的值为0。
此行列式的值为零。
解:∵n阶行列式的元素个数为 n²个。
由题意,得行列式中等于零的元素个数 > n²-n (个)。
该行列式中非零元素个数 < n²-(n²-n) = n(个)。
即,该行列式中至少有一行的元素全为零。
根据行列式的性质,当行列式出现一行(或列)的元素全为零时,该行列式值为零。
所以有,原行列式 = 0。
性质
①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。
②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。
③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和,这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn;另一个是с1,с2,…,сn;其余各行(或列)上的元与|αij|的完全一样。
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可以这样思考:n阶行列式总共有n²个元素,现在0的个数大于n²-n,相当于把每个元素都为0的n阶行列式中的一部分(少于n个)元素换成非0元,显然行列式有n行n列,现在少于n个数,必然存在某行或某列全为0元,也就得出此行列式的值为0
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等于0,证明如下
因为如果n阶行列式中等于零的元素个数大于n^2-n,
而n阶行列式中共有n^2个元素,
那么这个n阶行列式中不等于零的元素个数小于n^2-(n^2-n),=n个。
所以,这个n阶行列式中至少有一行或一列元素全为零,
故行列式的值为0.
因为如果n阶行列式中等于零的元素个数大于n^2-n,
而n阶行列式中共有n^2个元素,
那么这个n阶行列式中不等于零的元素个数小于n^2-(n^2-n),=n个。
所以,这个n阶行列式中至少有一行或一列元素全为零,
故行列式的值为0.
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