Question

规定max{f（x）,g(x)}=f(x),f(x)≥g(x);g(x),f(x)＜g(x)，若定

规定max{f（x）,g(x)}=f(x),f(x)≥g(x);g(x),f(x)＜g(x)，若定义在R上的奇函数F(x)满足：当x＞0时，F(x)=max{1-log2(x),1+log2(x)}
(1)求F(x)的解析式，并写出F(x)的单调区间； (2)若方程F(x)=m有唯一实数解，求实数m的值 (3)求t＞0时，函数y=F(x)在x∈[t,2]上的值域

Answer 1

1)求F(x)的解析式，并写出F(x)的单调区间；

[1-log(2,x)]-[1+log(2,x)]=-2log(2,x)=log(2,1/x²),
当01.

F(1)=1,F(1-0)=1,F(1+0)=1，所以F(x)在x=1处连续。
F´(1-0)=-1/ln2,F´(1+0)=1/ln2,所以x=1是F(x)的不可导点(尖点)。

当0<x≤1时,F´(x)=[1-log(2,x)]´=-1/(xln2)<0,单调减,F(0+)=+∞；
当 1<x时,F´(x)=[1+log(2,x)]´= 1/(xln2)>0,单调增,F(+∞)=+∞；
所以F(1)是定义域(0,+∞)内的唯一极小值，也的最小值.
该函数没有最大值.

(2)若方程F(x)=m有唯一实数解，求实数m的值
根据(1)的分析,只有当m=F(1)时,有唯一实数解x=1.

(3)求t＞0时，函数y=F(x)在x∈[t,2]上的值域
根据(1)的分析,又F(2)=2,
0<t≤1时,值域为：[1,max{1-log(2,t),2}];
1≤t时,值域为：[max{1,1+log(2,t)},2];