Question

一只函数f(x)=2^x+lg(x+1)-2 求（1）函数f(x)的定义域 （2）证明函数f(x)在定义域内为增函数 （3）

一只函数f(x)=2^x+lg(x+1)-2 求（1）函数f(x)的定义域 （2）证明函数f(x)在定义域内为增函数 （3）函数f(x)的零点所在的大致区域，并求出零点的个数

Answer 1

（1） x+1>0 得带x>-1 定义域是 x>-1
(2) 用定义法证明： 设-1<x1<x2
f(x2)-f(x1)=2^x2+lg(x2+1)-2 -(2^x1+lg(x1+1)-2)=2^x2-2^x1+lg(x2+1)-lg(x1+1)=2^x2-2^x1+lg((x2+1)/(x1+1))
因为y=2^x 是增函数 而x1<x2 所以2^x2>2^x1 即2^x2-2^x1>0
y=lgx在定义域上是增函数，又因为-1<x1<x2，所以0<x1+1<x2+1 即x2+1/x1+1 >1 所以lg((x2+1)/(x1+1))>lg1=0
i所以2^x2-2^x1+lg(x2+1)-lg(x1+1)=2^x2-2^x1+lg((x2+1)/(x1+1))>0
即f(x2)>f(x1)
函数f(x)在定义域内为增函数
(3)

Answer 2

（1） x+1>0 x>-1
（2）f'（x）=2^x*ln2+((x+1)ln10)^(-1) x>-1时恒大于零 故为增函数
（3）定义域内单调，故最多一个零点 f(0)=1-2=-1<0 f(1)=2+lg2-2=lg2>0 用二分法可得零点范围是 （0，1）