Question

若字母a、b、c分别表示不同的非零数字,则由a、b、c组成的各个数位数字不同。若除三位数abc外，

其余几个的和为2874，则abc=_______。

Answer 1

若字母a、b、c分别表示不同的非零数字,则由a、b、c组成的各个数位数字不同的三位数字共有6个，若除三位数abc外，其余几个的和为2874，所以有
222(a+b+c)-100a-10b-c=2874
即122a+212b+221c=2874
∵123≤abc≤987
∴2997≤222(a+b+c)≤3861
有a+b+c=14或15或16或17且c是偶数
当c=2时有方程组61a+106b=1216,a+b=12或13或14或15，无解。
当c=4时有方程组61a+106b=995,a+b=10或11或12或13，无解。
当c=6时有方程组61a+106b=774,a+b=8或9或10或11，有解a=4，b=5。
当c=8时有方程组61a+106b=553,a+b=6或7或8或9，无解。
则abc=___456____。

追答

解：由题意知，a、b、c组成了不同的三位数，即abc、acb、bac、bca、cab、cba共6个。又abc不算在内，所以知acb + bac + bca + cab + cba = 2874，分解成单个数字存在则变成：
（a×100 + c×10 + b）+ (b×100 + a×10 + c) + (b×100 + c×10 + a) + (c×100 + a×10 + b) + (c×100 + b×10 + a) = 2874
→ a×100 + c×10 + b+ b×100 + a×10 + c + b×100 + c×10 + a + c×100 + a×10 + b + c×100 + b×10 + a = 2874
→ (a + 2b + 2c)×100 + (b + 2a +2c)×10 + (2a + 2b + c) = 2874.
两边都+abc得：222（a + b + c）= 2874 + abc，
所以222（a + b + c）- abc= 2874