高中数学问题! 60
2.在三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a，b，c，且cos2C=﹣1/4（C为钝角），a=2，sin（A+B) / SINA=2 （1）求COSC的值 *（2）求b的长度！
第二题不用了，改为 展开
G（X）= LNX +4.5 /（X +1）-K = 0
G（X）= 1/x-4.5 /（X +1）^ 2 = 0
4.5倍= X ^ 2 +2 X +1
2X ^ 2-5X +2 = 0 x = 2时的1/2或x = 2的极值点。
G（X）'> 0时，X> 2，或0 <X <1/2的增加。
G（X）'<0时，1/2 <X <2被减小。
X =取最大值的1/2中，x =最低值2点。
请画图，使G（X）= 0只有一个解（x> 0），必须用数字两个极端：
克（1/2）G（2）> 0 （LN1 / 2 +4.5 /（1/2 +1）K）（LN2 +4.5（2 +1）K）> 0
（3-LN2-K）（27/2 + LN2-K）> 0
K> 27/2 + LN2或k <3-LN2
N = 1时，LN2> 1/3
当n = k真LN第k +1> 1/3 +1 / 5 +1 / 7 + ...... 1 /（2K +1），
N = k +1时刻，需要证明：
LN（K +1 +1）> 1/3 +1 / 5 +1 / 7 +。 .... 1 /（2K +1）1 /（2K +3），
即LN（K + 1 1）-1 /（2K +3）> 1/3 1/5 1/7 + ...... 1 /（2K +1）
长参考：
LN（K +1 +1）-LN（k +1）-1 /（2K +3）> 0即可。 K> = 1
设t（X）= LN（X +1）-LNX-1 /（2X +1）×> = 1
T'= 1 /（X +1）-1 / X 2 /（2×1）^ 2 = [ - （2×1）^ 2 2 X（X 1）] / K，其中K =（X +1）×（2×1）^ 2> 0
- （2×1）^ 2 2 X（X 1）=-4X ^ 2-4X-1 2 X ^ 2 +2 X =-2X ^ 2-2X-1 <0（ DETA <0）
所以吨'<0减小。
x趋向无穷大，
T（X）取最大值：
limln（X +1）-LNX-1 /（2X +1）（x趋向无穷大）
= limln（X +1）/ X-LIM1 /（2×1）
= 0-0 = 0
所以T（X）> 0
T（K +1）> 0 LN（k +1 +1）-LN（k +1）-1 /（2K +3）> 0
当n = k +1时成立。
前成立。
四棱锥S-ABCD中，各个侧面都是边长为a的正三角形，EF分别是SC和AB的中点，则直线EF与底面ABCD的正切值
解：
设侧棱长为a, 则易证底面是边长为a的正方形.
底面两对角线的交点O是底面ABCD的中心，连接SO，
取OC的中点为H,连接EH, EH.如图。
则易知:EH垂直底面ABCD, EH垂直FH.由此知角EFH即为所求直线EF与底面ABCD所成的角.
以下求其正切值。
连接SF、FC,易得：
AC=√2a，AO=√2a/2,
在直角三角形SAO中：
SO=√[SA²-OA²]=√[(a)^2-(√2a/2)^2]=√2a/2，
在直角三角形SAF中：
SF=√[SA²-AF²]=√[(a)^2-(a/2)^2]=√3a/2，
在直角三角形FBC中：
易得：
FC=√[FB²+BC²]=√[(a/2)^2+(a)^2]=√5a/2,
在三角形SFC中：
由余弦定理,cos角FSC= [SF^2 + SC^2- FC^2]/[2*SF*SC]
=[3/4 +1- 5/4]/[√3] =√3/6.
同样
在三角形SFE中：
由余弦定理,EF²= [SF² + SE²-2*SF*SE*cos角FSC
=[3/4 +1/4- 1/4]a²,
得EF =√3a/2.
在直角三角形FHE中：
EH=SO/2=√2a/4，
由勾股定理得：
FH=√[EF²-EH²]=√[(√3a/2)^2-(√2a/4)^2]=√10a/4，
∴直线EF与底面ABCD的正切值=EH/FH
=(√2a/4)/(√10a/4)
=√5/5.
2.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且cos2C=-1/4（C为钝角），a=2，sin(A+B)/sinA=2 1，求cosC的值； 2，求b的长
解：
（1）cos2C=2cos²C-1=-1/4
∴cos²C=3/8 因为C为钝角，所以cosC<0
∴cosC= -√6/4
（2）根据正弦定理：
sin(A+B)/sinA=sin C/ sinA=c/a=2
∴c=2a=4
根据余弦定理：
0=a²+b²-c²-2abcosC
=4+b²-16-b×4×（-√6/4）
=b²+ √6×b-12=0
得（b+2√6）（b-√6）=0
∵b>0
∴b=√6。
