Question

高数题。。急求大神帮忙解答下啊！！有图片！！

Answer 1

4.求不定积分∫[1/√(1+x)]dx
解：原式=∫[(1+x)^(-1/2)]d(1+x)=2(1+x)^(1/2)+C=2√(1+x)+C.
5.计算定积分【-1，3】∫f(x)dx，其中f(x)=x²(x<0时)，f(x)=xsinx(x≧0时).
解：【-1，3】∫f(x)dx=【-1，0】∫x²dx+【0，3】∫xsinxdx
=(1/3)x³∣【-1，0】+【0，3】-∫xd(cosx)
=1/3+【0，3】-[xcosx-∫cosxdx]
=1/3-[xcosx-sinx]∣【0，3】
=1/3-(3cos3-sin3)
=(1/3)-3cos3+sin3
6.求微分方程y'-(y/x)=xcosx的通解
解：先求齐次方程y'-y/x=0的通解：
分离变量得dy/y=(1/x)dx；积分之得lny=lnx+lnC₁=ln(C₁x)；即有y=C₁x；
将C₁换成x的函数u，得y=ux............(1)
将(1)对x取导数得dy/dx=x(du/dx)+u........(2)
将(1)和(2)代入原方程得：
x(du/dx)=xcosx
化简得du/dx=cosx
再分离变量得du=cosxdx
积分之，得u=sinx+C；
代入(1)式便得通解y=xsinx+Cx.

追问

感谢大神。。第4的C是哪里来的？？还有第六题的C也是哪里的来的。。

追答

两题中的C都是积分常数，可为任何实数。因为常数C的导数C'=0.
比如∫xdx=(1/2)x²+C；这是因为[(1/2)x²+C]'=x，即f(x)=x的原函数是一个原函数族F(x)=(1/2)x²+C.
你没学过不定积分吗？

追问

学过。。不过也忘得差不多了。。哎。。一言难尽啊。。不过还是感谢！

Answer 2

4. 换元，t=x+1. 积分得到2t^(1/2)=2(x+1)^(1/2)
5. 不定积分给出：积分x²=x³/3，积分x Sin[x]= -x Cos[x] + Sin[x]。积分-1到0，得到1/3。在积分0到3，得到-3 Cos[3] + Sin[3]。所以解为1/3+Sin[3]-3Cos[3]
6. y(x) = c1 x + x Sin[x]

追问

感觉第四题有点不对啊。。另外能写下详细过程么？？感激不尽啊。。。

Answer 3

4. 2根号下（x+1）

5. 原式=从0到3∫xsinxdx+从-1到0∫x^2dx
从0到3∫xsinxdx=从0到3∫x(-cosx)‘dx=(-xcosx)|（从0到3）-从0到3∫(x')(-cosx)dx=(-3cos3)+从0到3∫cosxdx=(-3cos3)+sinx|(从0到3)=-3cos3+sin3
从-1到0∫x^2dx=x^3/3|从-1到0=0-(-1/3)=1/3
则原式=-3cos3+sin3+1/3

追问

没有第六题么？而且第四题能写下过程么？？感激不尽啊