Question

用定义求定积分

Answer 1

解：原式=lim(n->∞){(1/n)[e^(1/n)+e^(2/n)+.......+e^(n/n)]}
=lim(n->∞){(1/n)e^(1/n)[1+e^(1/n)+.........+e^((n-1)/n)]}
=lim(n->∞){(1/n)e^(1/n)(1-e)/[1-e^(1/n)]} (应用等比数列求和公式)
=(1-e)lim(n->∞)[e^(1/n)]*lim(n->∞){(1/n)/[1-e^(1/n)]}
=(1-e)*lim(n->∞){(1/n)/[1-e^(1/n)]}
=(1-e)*lim(x->0)[x/(1-e^x)] (令x=1/n)
=(1-e)*lim(x->0)(-1/e^x) (0/0型极限，应用罗比达法则)
=(1-e)*(-1)
=e-1。