Question

已知X.Y是实数且满足X^2+XY+Y^2-2=0，设M=X^2-XY+Y^2,则M的取值范围是

Answer 1

当x,y同正，同负时。X^2+XY+Y^2-2大于或等于2xy+xy-2
即3xy小于或等于0，解得xy大于0小于或等于2/3
当x,y异号时，X^2+XY+Y^2-2大于或等于xy-2xy-2
即xy大于或等于-2
故xy取值范围：[-2,2/3]
M=X^2-XY+Y^2大于或等于（2xy)绝对值-xy
当xy是大于或等于0时，（2xy)绝对值-xy取值范围：[0,2/3]
当xy是小于0时，（2xy)绝对值-xy取值范围：[0,2]

Answer 2

解：由题得：X²+XY+Y²=2 -----------------------------------------------------(1)
X²-XY+Y²=M -----------------------------------------------------(2)
(1)+(2)得： X²+Y²=M/2+1 ---------------------------------------------------(3)
(1)－(2) 得： 2XY=2-M ------------------------------------------------------(4)
(3)+(4) 得：(X+Y)²=3-M/2 即：3-M/2 =(X+Y)²》0 （∵X.Y是实数，∴(X+Y)²》0）
所以，M《6
(3)-(4) 得：(X－Y)²=3M/2-1 即：3M/2-1=(X-Y)²》0 （∵X.Y是实数，∴ (X-Y)²》0）
所以，M》2/3
所以，M的取值范围是：2/3《M《6

Answer 3

X^2+XY+Y^2-2=0

X^2+XY+Y^2=2

x^2+y^2=2-xy

又：（x-y)^2≥0
xy≤(x^2+y^2)/2=(2-xy)/2=1-xy/2
(1+1/2)xy≤1
xy≤2/3

∴M=X^2-XY+Y^2
=(X^2+XY+Y^2)-2xy
=2-2xy ≥ 2-2*2/3=2/3
即M≥2/3