Question

若不等式x^2-2ax+a^2-2a+2>0在-1≤x≤1上恒成立,求实数a的取值范围

令f(x)=x^2-2ax+a^2-2a+2=(x-a)^2-2a+2
f(1)=1-2a+a^2-2a+2=a^2-4a+3，f(-1)=1+2a+a^2-2a+2=a^2+3

下面这几部不太懂，求讲解一下：
当a>1时，f(1)=a^2-4a+3=(a-1)(a-3)≥0，所以a≥3；（为什么a>1时才能代入1是＞0的？）
当a<-1时，f(-1)=a^2+3>0，所以a<-1；（为什么a＜-1时才能代入-1是＞0的？）
当-1≤a≤1时，△=4a^2-4(a2-2a+2)=8a-8≤0，所以-1≤a≤1.（为什么-1≤a≤1时，△≤0？）
综上，a≤1，或a≥3，即实数a的取值范围为(-∞,1]∪[3,+∞)

Answer 1

f(x)=x^2-2ax+a^2-2a+2=(x-a)^2-2a+2

若 f(x)在[-1,1]上恒为正值，需f(x)min>0
f(x)的对称轴为x=a,开口朝上

1）当a>1时，即抛物线对称轴在区间[-1,1]的左侧
f(x)在区间[-1,1]上为减函数,f(x)min=f(1)
因此要求f(1)>0 ,【注意没有等号】

2）
当a>1时，即抛物线对称轴在区间[-1,1]的右侧
f(x)在区间[-1,1]上为增函数,f(x)min=f(-1)
因此要求f(-1)>0 ,【注意没有等号】
3）
当-1≤a≤1时，抛物线的对称轴x=a在区间[-1,1]
f(x)min=f(a)=2-2a，则2-2a>0
【就是Δ<0,没有等号的】

实数a的取值范围为(-∞,1）∪（3,+∞)