Question

△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过B、C两点作经过A的直线的垂线，垂足分别为D、E，如图

△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过B、C两点作经过A的直线的垂线，垂足分别为D、E，如图（1）．（1）判断线段BD、DE、EC是什么关系？予以证明；（2）如图（2），设O为BC的中点，连接DO、EO，判断DO、EO有什么关系？请说明理由

Answer 1

（1）当处于如图1所示位置时，∵AC=AB，CE和BD都垂直于 AD，∴△ACE≌△BAD；
∴EC=AD，AE=BD；AD=AE+DE=BD+DE=EC；
若 AD 远离 AB 而偏向于 AC 一侧，则 BD=EC+DE；
（2）连接 AO，则 AO⊥BOC；
∵BD⊥AD、AO⊥AOC，所以 ABDO 四点共圆，AB 是公共圆的直经，弦 OD 所对圆周角是∠OBD；
同理可证 ACOE 四点共圆，AC=AB 是该公共圆的直径，弦 OE 所对圆周角是 ∠OCE；
再者 CE、BD 都垂直于 AD，∴CE∥BD，∠OCE=∠OBD；
所以 ∠OCE 和∠OBD 所对应弦长 OE、OD 相等（等直径圆上等圆周角所对弦）；

追问

第二题要用三角形全等做

追答

（2）作 OF⊥AD，则 OF∥BD∥CE；因 O 是 BC 的中点，即 OF位于平行线 CE 和 BD 正中间，所以 F 在 DE 的中垂线上，∴△DEF 是以 DE 为底边的等腰三角形，故 OD=OE；
（2）连接 AO，则 AO=CO；由（1）知 AD=CE，∠OCE=45°-∠ACE=45°-∠BAD=∠OAD；
∴ △OCE≌△OAD，∴OE=OD；