Question

一个二阶变系数齐次线性微分方程的解法

有一个方程可以写为y"+(a+bx)y=0，其中a,b均为常数，求y的特解。。。通解更好 最好能把推导的过程也简单说一下。。因为我真的是数学小白

Answer 1

用幂级数法：
设y=c0+c1x+c2x^2+...+cnx^n+...
则y'=c1+2c2x+3c3x^2+...+ncnx^(n-1)
y"=2c2+6c3x+12c4x^2+...+n(n-1)cnx^(n-2)+..
(a+bx)y=ay+bxy=(ac0+ac1x+ac2x^2+...)+(bc0x+bc1x^2+bc2x^3+...)
代入原方程得：
(2c2+ac0)+(6c3+ac1+bc0)x+(12c4+ac2+bc1)x^2+...+[n(n-1)cn+ac(n-2)+bc(n-3)]x^(n-2)+..=0
每项系数都为0，并以c0,c1为任意常数，得：
2c2+ac0=0, 得c2=-ac0/2
6c3+ac1+bc0=0, 得c3=-(ac1+bc0)/6
12c4+ac2+bc1=0, 得c4=-(ac2+bc1)/12=-(-a^2c0/2+bc1)/12
.......
n(n-1)cn+ac(n-2)+bc(n-3)=0, 这样可以得到每一项cn.

追问

那最后能给出解的形式吗？

追答

最后就是上面幂级数的形式呀。