设函数f(x)=ax∧3+bx(a,b为实数),设b>0,当a≦0且x∈[0,1]时,有f(x)∈
设函数f(x)=ax∧3+bx(a,b为实数),设b>0,当a≦0且x∈[0,1]时,有f(x)∈[0,1],求b的最大值。...
设函数f(x)=ax∧3+bx(a,b为实数),设b>0,当a≦0且x∈[0,1]时,有f(x)∈[0,1],求b的最大值。
展开
展开全部
f(x)=ax^3+bx,
f'(x)=3ax^2+b
若a=0,f'(x)=b>0,f(x)为增函数
x∈[0,1],那么f(x)min=f(0)=0,f(1)=b=1
若a<0,f'(x)=0的x^2=-b/(3a)
当-b/(3a)≥1,即b≥-3a时,f'(x)≥0,
f(x)递增,f(x)max=f(1)=a+b=1
∴b≥-3(1-b)
∴2b≤3,
0<b≤3/2
若0< -b/(3a)<1, b<-3a
那么0≤x<√[ -b/(3a)]时,f'(x)>0,f(x)递增
√[-b/(3a)]<x≤1时,f'(x)<0,f(x)递减,
f(x)max=f[√(-b/(3a)]=a*(-b)/(3a)√[-b/(3a)]+b√[-b/(3a)]=1
∴ 2b√[-b/(3a)]=3
∴2b√b=3√(-3a)
∴4b^3=-27a ,
a=-4/27b^3
f(1)=a+b≥0, b<-3a
那么 -4/27b^3+b≥0 ,b<4/9b^3
∴ b^2-27/4≤0 ,b^2>9/4
∴ 3/2<b≤3√3/2
综上0<b≤3√3/2
综上,b的最大值为3√3/2
f'(x)=3ax^2+b
若a=0,f'(x)=b>0,f(x)为增函数
x∈[0,1],那么f(x)min=f(0)=0,f(1)=b=1
若a<0,f'(x)=0的x^2=-b/(3a)
当-b/(3a)≥1,即b≥-3a时,f'(x)≥0,
f(x)递增,f(x)max=f(1)=a+b=1
∴b≥-3(1-b)
∴2b≤3,
0<b≤3/2
若0< -b/(3a)<1, b<-3a
那么0≤x<√[ -b/(3a)]时,f'(x)>0,f(x)递增
√[-b/(3a)]<x≤1时,f'(x)<0,f(x)递减,
f(x)max=f[√(-b/(3a)]=a*(-b)/(3a)√[-b/(3a)]+b√[-b/(3a)]=1
∴ 2b√[-b/(3a)]=3
∴2b√b=3√(-3a)
∴4b^3=-27a ,
a=-4/27b^3
f(1)=a+b≥0, b<-3a
那么 -4/27b^3+b≥0 ,b<4/9b^3
∴ b^2-27/4≤0 ,b^2>9/4
∴ 3/2<b≤3√3/2
综上0<b≤3√3/2
综上,b的最大值为3√3/2
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询