在一个边长为a的正方形ABCD中,点E,M分别是线段AC,CD上的动点,连接DE并延长交正方形的边
在一个边长为a的正方形ABCD中,点E,M分别是线段AC,CD上的动点,连接DE并延长交正方形的边于点F,过点M作MN垂直于DF于H,交AD于N.(2)如图假设点M从点C...
在一个边长为a的正方形ABCD中,点E,M分别是线段AC,CD上的动点,连接DE并延长交正方形的边于点F,过点M作MN垂直于DF于H,交AD于N. (2)如图假设点M从点C出发,以1cm/s的速度沿CD向点D运动,点E同时从点A出发,以根号2cm/s速度沿AC向点C运动,运动时间为t; 2.连接FM,FN,三角形MNF能否为等腰三角形?若能,请写出a,t之间的关系;若不能,请说明理由. (注明:不能发图,请手打,或粘贴,我手机像素不行,谢谢。回答满意者好评。)
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在一个边长为a(单位:cm)的正方形ABCD中,点E、M分别是线段AC,CD上的动点,连结DE并延长交正方形的边于点F,过点M作MN⊥DF于H,交AD于N.
(1)如图1,当点M与点C重合,求证:DF=MN;
(2)如图2,假设点M从点C出发,以1cm/s的速度沿CD向点D运动,点E同时从点A出发,以 cm/s速度沿AC向点C运动,运动时间为t(t>0);
①判断命题“当点F是边AB中点时,则点M是边CD的三等分点”的真假,并说明理由.
②连结FM、FN,△MNF能否为等腰三角形?若能,请写出a,t之间的关系;若不能,请说明理由.
分析: (1)证明△ADF≌△DNC,即可得到DF=MN;
(2)①首先证明△AFE∽△CDE,利用比例式求出时间t= a,进而得到CM= a= CD,所以该命题为真命题;
②若△MNF为等腰三角形,则可能有三种情形,需要分类讨论.
解答: (1)证明:∵∠DNC+∠ADF=90°,∠DNC+∠DCN=90°,
∴∠ADF=∠DCN.
在△ADF与△DNC中,
,
∴△ADF≌△DNC(ASA),
∴DF=MN.
(2)解:①该命题是真命题.
理由如下:当点F是边AB中点时,则AF= AB= CD.
∵AB‖CD,∴△AFE∽△CDE,
∴ ,
∴AE= EC,则AE= AC= a,
∴t= = a.
则CM=1•t= a= CD,
∴点M为边CD的三等分点.
②能.理由如下:
易证AFE∽△CDE,∴ ,即 ,得AF= .
易证△MND∽△DFA,∴ ,即 ,得ND=t.
∴ND=CM=t,AN=DM=a-t.
若△MNF为等腰三角形,则可能有三种情形:
(I)若FN=MN,则由AN=DM知△FAN≌△NDM,
∴AF=DM,即 =t,得t=0,不合题意.
∴此种情形不存在;
(II)若FN=FM,由MN⊥DF知,HN=HM,∴DN=DM=MC,
∴t= a,此时点F与点B重合;
(III)若FM=MN,显然此时点F在BC边上,如下图所示:
易得△MFC≌△NMD,∴FC=DM=a-t;
又由△NDM∽△DCF,∴ ,即 ,∴FC= .
∴ =a-t,
∴t=a,此时点F与点C重合.
综上所述,当t=a或t= a时,△MNF能够成为等腰三角形.
(1)如图1,当点M与点C重合,求证:DF=MN;
(2)如图2,假设点M从点C出发,以1cm/s的速度沿CD向点D运动,点E同时从点A出发,以 cm/s速度沿AC向点C运动,运动时间为t(t>0);
①判断命题“当点F是边AB中点时,则点M是边CD的三等分点”的真假,并说明理由.
②连结FM、FN,△MNF能否为等腰三角形?若能,请写出a,t之间的关系;若不能,请说明理由.
分析: (1)证明△ADF≌△DNC,即可得到DF=MN;
(2)①首先证明△AFE∽△CDE,利用比例式求出时间t= a,进而得到CM= a= CD,所以该命题为真命题;
②若△MNF为等腰三角形,则可能有三种情形,需要分类讨论.
解答: (1)证明:∵∠DNC+∠ADF=90°,∠DNC+∠DCN=90°,
∴∠ADF=∠DCN.
在△ADF与△DNC中,
,
∴△ADF≌△DNC(ASA),
∴DF=MN.
(2)解:①该命题是真命题.
理由如下:当点F是边AB中点时,则AF= AB= CD.
∵AB‖CD,∴△AFE∽△CDE,
∴ ,
∴AE= EC,则AE= AC= a,
∴t= = a.
则CM=1•t= a= CD,
∴点M为边CD的三等分点.
②能.理由如下:
易证AFE∽△CDE,∴ ,即 ,得AF= .
易证△MND∽△DFA,∴ ,即 ,得ND=t.
∴ND=CM=t,AN=DM=a-t.
若△MNF为等腰三角形,则可能有三种情形:
(I)若FN=MN,则由AN=DM知△FAN≌△NDM,
∴AF=DM,即 =t,得t=0,不合题意.
∴此种情形不存在;
(II)若FN=FM,由MN⊥DF知,HN=HM,∴DN=DM=MC,
∴t= a,此时点F与点B重合;
(III)若FM=MN,显然此时点F在BC边上,如下图所示:
易得△MFC≌△NMD,∴FC=DM=a-t;
又由△NDM∽△DCF,∴ ,即 ,∴FC= .
∴ =a-t,
∴t=a,此时点F与点C重合.
综上所述,当t=a或t= a时,△MNF能够成为等腰三角形.
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