Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,试找出方程f(f(x))=x有4个实根的充要条件。

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,试找出方程f(f(x))=x有4个实根的充要条件。并证明。
望有详细过程！
谢谢！！！

Answer 1

af²+bf+c=x,因式分解如下：
af²-afx+afx-ax²+bf-bx+ax²+bx+c-x=0
af(f-x)+ax(f-x)+b(f-x)+f-x=0
(f-x)(af+ax+b+1)=0
[ax²+(b-1)x+c][a²x²+a(b+1)x+ac+b+1]=0
有4个实根，则两个二次方程的判别式都>=0,即
(b-1)²-4ac>=0,
a²(b+1)²-4a²(ac+b+1)>=0, 得：(b+1)²-4(ac+b+1)>=0,化简得：(b-1)²-4ac>=4
综合得：(b-1)²-4ac>=4
这就是充要条件。