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那我用文字试一试
解：（1）∵f(x)＝x(1+lnx)/x−1 ，(x＞1)，∴f′(x)＝x−2−lnx/(x−1)²，
∵x0为函数f（x）的极值点，∴f'（x0）=0，即x0-2-lnx0=0，于是x0-1=1+lnx0，故f(x0)＝x0(1+lnx0)/x0−1＝x0(x0−1)/x0−1＝x0．
（2）xlnx+（1-k）x+k＞0恒成立，分离参数得k＜x(1+lnx)/x−1＝f(x)．
则x＞1时，f（x）＞k恒成立，只需f（x）min＞k，f′(x)＝
x−2−lnx/(x−1)²，记g（x）=x-2-lnx，∴g′(x)＝1−1/x＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上递增，又g（3）=1-ln3＜0，g（4）=2-ln4＞0，∴g（x）在（1，+∞）上存在唯一的实根x0，且满足x0∈（3，4），∴当1＜x＜x0时g（x）＜0，即f'（x）＜0；当x＞x0时g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）min=f（x0）=x0∈（3，4），故正整数k的最大值为3．
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那我用文字试一试
解：（1）∵f(x)＝x(1+lnx)/x−1 ，(x＞1)，∴f′(x)＝x−2−lnx/(x−1)²，
∵x0为函数f（x）的极值点，∴f'（x0）=0，即x0-2-lnx0=0，于是x0-1=1+lnx0，故f(x0)＝x0(1+lnx0)/x0−1＝x0(x0−1)/x0−1＝x0．
（2）xlnx+（1-k）x+k＞0恒成立，分离参数得k＜x(1+lnx)/x−1＝f(x)．
则x＞1时，f（x）＞k恒成立，只需f（x）min＞k，f′(x)＝
x−2−lnx/(x−1)²，记g（x）=x-2-lnx，∴g′(x)＝1−1/x＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上递增，又g（3）=1-ln3＜0，g（4）=2-ln4＞0，∴g（x）在（1，+∞）上存在唯一的实根x0，且满足x0∈（3，4），∴当1＜x＜x0时g（x）＜0，即f'（x）＜0；当x＞x0时g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）min=f（x0）=x0∈（3，4），故正整数k的最大值为3．
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