Question

当单摆的角度大于十度时，周期怎么变？（具体）

Answer 1

上面提到是角度比较小的时候单摆的近似公式,但是对于我个人而言比较喜欢追求完美.所以在此补充一点,也就是在任意角度下单摆的周期公式.但在此之前提出两个概念:第一类不完全椭圆积分:F(φ,x)=∫[0,φ]dθ/√(1-x²sin²θ),第一类完全椭圆积分K(x)=F(π/2,x)=∫[0,π/2]dθ/√(1-x²sin²θ)(∫[a,b]f(x)dx表示对f(x)在区间[a,b]上的定积分)
设摆长为l,摆线与竖直方向的夹角为θ,那么单摆的运动公式为:
d²θ/dt²+g/l*sinθ=0
令ω=dθ/dt,上式改写成:
ωdω/dθ+g/l*sinθ=0
ω²=2g/l*cosθ+c
给定初始条件θ=α(0≤α≤π),ω=0,则其特解为:
ω²=2g/l*(cosθ-cosα)=4g/l*(sin²(α/2)-sin²(θ/2))
所以t=∫dθ/ω=1/2*√(g/l)*∫[0,θ]dθ/√(sin²(α/2)-sin²(θ/2))
做变换sin(θ/2)=sin(α/2)sinφ,则
t=√(l/g)*∫[0,φ]dφ/√(1-sin²(α/2)*sin²φ)=√(l/g)*F(φ,sin(α/2))
以上是单摆从任意位置摆动任意角的公式,当单摆从任意位置开始摆动到竖直位置时,θ=α,此时φ=π/2
那么T=4t=4√(l/g)*F(π/2,sin(α/2))=4√(l/g)*K(sin(α/2)),此处的α就是常说的摆角,现在看一下不同的摆角对周期的影响
单摆的近似公式为T=2π√(l/g),精确公式为T=4√(l/g)*K(sin(α/2)),记相对误差为e(α)
那么e(α)=(2K(sin(α/2))-π)/(2K(sin(α/2))

用Maple计算得到:
e(1)=0.0019%
e(2)=0.0076%
e(3)=0.0171%
e(4)=0.0305%
e(5)=0.0476%
e(6)=0.0685%
e(7)=0.0933%
e(8)=0.1218%
e(9)=0.1542%
e(10)=0.1903%
e(11)=0.2303%
e(12)=0.2741%
e(13)=0.3217%
e(14)=0.3730%
e(15)=0.4282%
e(16)=0.4872%
e(17)=0.5500%
e(18)=0.6165%
e(19)=0.6869%
e(20)=0.7611%

Answer 2

周期在逐渐变大