Question

已知99个小于100且可以相等的正整数,若其中所有2个,3个直到99个的和都不能被100整除.证明:所有的数均相等

2. 已知99个小于100的正整数（可以相等），若其中所有2个，3个直到99个的和都不能被100整除，证明：所有的数均相等.

Answer 1

设这99个小于100的正整数有两个不相等，则
其中所有2个数的和被100除所得的余数至少有两个不相等，记为r(2,1)<r(2,2),其中(2,1)是下标，余者类推；
所有3个数的和被100除所得的余数至少有两个不相等，记为r(3,1)<r(3,2)；
……
所有98个数的和被100除所得的余数至少有两个不相等，记为r(98,1)<r(98,2)；
所有99个数的和被100除所得的余数为r(99,1).
上述余数中的r(2,i),r(4,i),……，r(98,i),r(99,1),i=1,2就有99个，所以上述余数至少有一个为0，或至少有两个相等(其中第一个下标不相邻),对于前者，对应的和能被100整除；对于后者，相应的和之差能被100整除。这与题设“其中所有2个，3个直到99个的和都不能被100整除”矛盾。
所以命题成立.