Question

直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AC=BC=1，AA1=2，D是B1C1中点求点C与平面A1BD的距离

Answer 1

按图和条件，应该是∠ACB=90°。
那么由勾股定理：
A1D=√5/2
BD=√17/2
A1B=√6
A1B^2=A1D^2+BD^2-2A1D*BDcos∠A1DB
6=5/4+17/4-√85/2*cos∠A1DB
1/√85=cos∠A1DB
sin∠A1DB=√84/√85
S△A1DB=0.5*A1D*BD*sin∠A1DB=0.5*√5/2*√17/2*√84/√85=√21/4
VCA1BD=VABCA1B1C1-VA1ABC-VCC1A1D-VBB1A1D
1/3*H*S△A1DB=1/2*2*1*1-1/3*2*1/2*1*1-1/2*2*1/2*1*1/2-1/2*2*1/2*1*1/2
H*S△A1DB=1/2
H=(1/2)/(√21/4)=2√21/21

思路为利用体积求解点面距离问题。