Question

已知不等式ax^2+bx+c>0的解集为{x|x>2,或x<-1},求不等式cx^2+bx+a>0

已知不等式ax^2+bx+c>0的解集为{x|x>2,或x<-1},求不等式cx^2+bx+a>0的解集。

Answer 1

已知不等式ax^2+bx+c>0的解集为{x|x>2,或x<-1},
ax^2+bx+c=a(x+1)(x-2)
a>0
b=-a，c=-2a
cx^2+bx+a=a(-2x^2-x+1)=-a(2x-1)(x+1)>0
(2x-1)(x+1)<0
解是-1<x<0.5
不等式cx^2+bx+a>0的解集是(-1，0.5)

Answer 2

由不等式ax^2+bx+c>0的解集为α<X<β可知道
ax^2+bx+c=a(X-α)(X-β),且a<0
所以b=-a(α+β),c=aαβ
所以cx^2+bx+a=aαβx^2-a(α+β)x+a=a(αx-1)(βx-1)
故cx^2+bx+a>0的解集等价于a(αx-1)(βx-1)>0的解集
又a<0，0<1/β<1/α,求得解集为1/β<X<1/α

把y=ax^2+bx+c抛物线在x轴上方的点的x取值是α<X<β，即抛物线开口向下，所以a<0

b=-a(α+β),c=aαβ，根据ax^2+bx+c=a(X-α)(X-β)等式右边展开得出B，C

然后把用α、β表示的B,C代入cx^2+bx+a中cx^2+bx+a=aαβx^2-a(α+β)x+a=a(αx-1)(βx-1)

其他的就好解释了