Question

高等数学：有界不一定收敛，收敛一定有界，为什么呢

Answer 1

有界不一定收敛是指此数列或函数存在上下限，但没有一种趋势是趋向于某一个确定的数，就像正弦函数一样，虽然有正负1给它作为上下限，但随着x的变化，函数值没有趋向于一个确定的1一样。

收敛一定有界指的是此数列或函数存在一个趋势，这个趋势的极限是一个确定的值，就像反比例函数一样。

收敛数列一定有界（反证,假设无界,肯定不收敛） 

有界数列不一定收敛（反例,数列{(-1)^n}是有界的,但它却是发散的）

本质的不同数列的收敛是指当n趋于无穷时数列项趋于一个数，而数列的前面的有限项是一个确定的数,显然有界，当n趋于无穷时数列收敛，，说明后面的任意项都是一个有限的数。

而函数收不收敛是指当x趋于x0时，函数的敛散情况，当x趋于x0收敛，函数在x0处肯定是有界的，但并不代表x趋于x1就一定收敛，是否有界也不得而知。

扩展资料

有界数列不一定是收敛数列，例如，摆动数列。

 

是有界的，因对一切n，有

但它是发散的；而数列

 

也是有界的，因对一切n，

 但数列是收敛的，有

无界数列一定是发散的，因为如果它是收敛的，根据收敛数列是有界的，得出数列有界的结论。

Answer 2

奇数项等于－1，偶数项等于1，这个数列有界，但是不收敛，下面是收敛一定有界的证明

目的是证明收敛数列的有界性。 数列{Xn}收敛到a，根据极限定义对于任意E＞0, 存在正整数N，当n＞N，不等式/Xn-a/＜E都成立，此处E可以选为1。直观地想就是当n趋于无穷的时候，Xn的值无限接近a，为了准确描述这一性质，引入了N。当n>N时，所有的Xn都有上限，都要小于E+|a|。就是Xn无限接近a，在n>N之后，所有Xn都小于a加上个正数（E）。到此证明了从N开始，数列都是有界的（都小于E+|a|）。下面要证明n<=N的时候数列也得有界（X1, X2.....,XN，显然对于任意m, Xm<=|Xm|，所以对于所有n<=N，取其绝对值，并和刚才的E+|a|并为一个集合。N之前所有的Xn，都小于等于自身绝对值，N之后所有Xn都小于E+|a|。取该集合最大值为M，对于全部Xn来说，必然都小于这个值。最后，对于数列Xn, 确实存在M，对所有n, Xn<M，收敛数列必有界。

追问

有界返推收敛呢

追答

有界不能反推收敛，举个例子，奇数项等于－1，偶数项等于1，这个数列有界，但是不收敛。cos(npi),这个数列也是有界但不收敛的。

Answer 3

有界，举例sinx在整个区间有界，但它并不会趋于某个值，所以不收敛，但是收敛的话，就是有极限值，举例arctanx这个函数，在x趋于无穷的时候，极限是二分指派，有极限说明它并不会超过二分指派，岂不是说它有界，不会的话，可以接着提问，我要分呀，另外，课本上证明极限值仅供理解就行，那不是重点，千万不要在那个地方费脑，完全没必要，在学习中，对于这种题，举例最好理解了，像上面的我举的例子就可以说明问题

Answer 4

Answer 5

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