Question

求大神解答高数问题 如图 题中为何限制1<x<3？ 又为何δ=min｛1，ε/2｝？

Answer 1

问这个说明 函数极限的定义还没吃透 

第一个问题

这里|x-2|<1  对应于|x-x0|<δ     a与3对应

第二个问题 在于只要找到一个满足条件|x-2|<1且 |x-2|<ε/2的值

那么min｛1，ε/2｝是取2者中较小的   必然能同时满足2个条件

追问

首先感谢你的回答

不过我不太能理解的是 为什么δ要取1

δ不是指很小的正数吗

第二个问题我也能理解

追答

注意这里“如果存在常数a，对于任意给定整数ε总存在正数δ ” 只要证明总存在正数δ， 只要能找到一个这样的δ就行 本题之所以取1 是根据题目便于证明
如果限制
|x-2|<2 也能证明
如下 0<x<4
f(x)=|(x+3)/(x+2)|*|x-2|<7/2|x-2|
7/2|x-2|<ε 即|x-2|<2/7ε
取δ=min{2/7ε,2}
另外上面的“这里|x-2|<1 对应于|x-x0|<δ ”我这里讲错了 1和δ不对等 |x-2|<1是证明时取得限制条件
最终目的是找到一个δ
但是 总而言之 只要能找到这样的δ 就行 所以这里可以限制

追问

谢谢你的回答 思路很严谨 我是初学者 所以这些小问题真是劳烦你啦

大神 我能再问你一个问题吗

感谢

追答

额 这个有点复杂哈
第一感觉是夹逼定理 你可以试一下 我用夹逼定理没弄出来 利用不等式 a+b/2>=根号ab 放缩 能弄出来一边
另外一边我没找到适合的放缩
我只能这样解出来
解：
∵lim(n->∞)[nln((a^(1/n)+b^(1/n))/2)]
=lim(n->∞)[(ln(a^(1/n)+b^(1/n))-ln2)/(1/n)]
=lim(x->0)[(ln(a^x+b^x)-ln2)/x] (这里先设x=1/n )
=lim(x->0)[(a^x*lna+b^x*lnb)/(a^x+b^x)] (0/0型，应用罗必塔法则)
=(lna+lnb)/2
=ln(ab)/2
∴原式=lim(n->∞){e^[nln((a^(1/n)+b^(1/n))/2)]}
=e^{lim(n->∞)[nln((a^(1/n)+b^(1/n))/2)]}
=e^(ln(ab)/2)
=√(ab)。

追问

首先非常感谢你的回答表示对你的步骤中有些接受不了（毕竟我还是初学者哈哈 ）不过非常感谢 大概懂了 我再去问问老师 谢谢 以后有问题 还得向你请教！

大神我又遇到难题了 这道我想了好久都没有办法 能帮帮我吗？

追答

首先
lim √(x+1) -√(x-1)=lim(x+1-x+1)/(√x+1 +√x-1)=lim 2/(√(x+1) +√(x-1))=0 (*)
根据和差化积
原式

=lim2cos(√(x+1) +√(x-1))/2 *sin(√(x+1) -√(x-1)) /2
这里根据 (*)式 显然有 sin(√(x+1) -√(x-1)) /2=0)
于是
原式=lim2cos(√x+1 +√x-1)/2 *0=0

追问

谢谢大神 我懂了 开始我就是没想到用和差化积