Question

如图,在矩形ABCD中，AD=4，AB=m（m>4),点P是AB边上的任意一点(不与点A、

Answer 1

解：（1）假设当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合（如图）， ∵PQ⊥PD， ∴∠DPC=90°， ∴∠APD+∠BPC=90°， 又∠ADP+∠APD=90°， ∴∠BPC=∠ADP， 又∠B=∠A=90°， ∴△PBC∽△DAP， ∴， ∴， ∴AP=2或8， ∴存在点P使得点Q与点C重合，出此时AP的长2或8； （2）如图，∵PQ∥AC， ∴∠BPQ=∠BAC， ∵∠BPQ=∠ADP， ∴∠BAC=∠ADP， 又∠B=∠DAP=90°， ∴△ABC∽△DAP， ∴，即， ∴AP=， ∵PQ∥AC， ∴∠BPQ=∠BAC， ∵∠B=∠B， ∴△PBQ∽△ABC，，即， ∴； （3）由已知PQ⊥PD，所以只有当DP=PQ时，△PQD为等腰三角形（如图）， ∴∠BPQ=∠ADP，又∠B=∠A=90°， ∴△PBQ≌△DAP， ∴PB=DA=4，AP=BQ=m-4， ∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式为： S 四边形PQCD =S 矩形ABCD -S △DAP -S △QBP =DA×AB-×DA×AP-×PB×PQ =4m-×4×（m-4）-×4×（m-4） =16（4＜m≤8）。