Question

（2011南充）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．

（1）求证：△MDC是等边三角形； （2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．

Answer 1

解：△AEF的周长存在最小值，理由如下： 连接AM，由（1）平行四边形ABMD是菱形， △MAB，△MAD和△MC′D′是等边三角形， ∠BMA=∠BME+∠AME=60°，∠EMF=∠AMF+∠AME=60°， ∴∠BME=∠AMF， 在△BME与△AMF中，BM=AM，∠EBM=∠FAM=60°， ∴△BME≌△AMF（ASA）， ∴BE=AF，ME=MF，AE+AF=AE+BE=AB， ∵∠EMF=∠DMC=60°，故△EMF是等边三角形，EF=MF， ∵MF的最小值为点M到AD的距离√3，即EF的最小值是√3， △AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF， △AEF的周长的最小值为2+√3， 答：存在，△AEF的周长的最小值为2+√3．

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