Question

在平面直角坐标系中，已知A(3,0)，P是圆x²+y²=1上一个动点，且∠AOP的平分线交PA于Q

点，求Q点的轨迹的极坐标方程

Answer 1

解：点P在圆 x²+y²=1 上，故可设点P的坐标为（cos2θ,sin2θ).
其中2θ为半径OP与x轴的夹角。于是AP所在直线的方程为：
y=[sin2θ/(cos2θ-3)](x-3)
=（2sinθcosθ）/[2cos²θ-4](x-3).....(1)
∠AOP的平分线的方程为：
y=(tanθ)x=(sinθ/cosθ)x...........(2)
由(1)(2)联立解得交点Q点的坐标（x,y)为：
x=(3/2)cos²θ................(3)
y=(3/2)sinθcosθ............（4）
（3）（4）便是交点Q的直角坐标参数方程。
（3)+(4)得：
x+y=(3/2)cosθ(cosθ+sinθ)
用 x=ρcosθ, y=ρsinθ代入即得动点Q的极坐标方程为：
ρ=（3/2)cosθ.(θ∈R).
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