Question

若函数f(x)=cos2x+8sinx,则它的最大值和最小值分别是

详细过程，在线等！！！尤其需要化简的过程

Answer 1

可转化为求二次函数y=-2t^2+8t+1在区间【-1，1】上的最值，其中t是对sinx的换元。sinx的值域即t的变化范围【-1,1】
二次函数y=-2t^2+8t+1的对称轴是t=2,
[-1,1]在对称轴的左侧，y=-2t^2+8t+1在对称轴的左侧单调递增，
从而在t=-1（即sinx=-1时）处取得最小值-9，
在t=1处（即sinx=1时）取得最大值7

Answer 2

f(x)=cosx^2-sinx^2+8sinx
=1-2sinx^2+8sinx
=-2(sinx-2)^2+9
sinx取值范围(-1，1)
所以sinx=-1时,f(x)取得最小值-9
sinx=1时f(x)取得最大值7

Answer 3

f(x)=1-2(sinx)^2+8sinx
设sinx=t
则f(t)=-2t^2+8t +1
t=4时取到最大值
sinx属于[-1,1]
所以t属于[-1,1]
所以f(t)最大值为t=1时 f(1)=7
f(t)最小值为t=-1时 f(-1)=-9

Answer 4

f(x)=cos2x+8sinx
f(x)=1-2(sinx)^2+8sinx
f(x)=-2(sinx)^2+8sinx+1
f(x)=-2[(sinx)^2-4sinx]+1
f(x)=-2[(sinx)^2-4sinx+4]+8+1
f(x)=-2(sinx-2)^2+9
-1<=sinx<=1
当sinx=1时，有最大值，f(x)max=7
当sinx=-1时，有最小值，f(x)min=-9

Answer 5

f(x)
=cos2x+8sinx
=1-2sin²x+8sinx
=-2(sin²x-4sinx+4)+9
=-2(sinx-2)²+9
令m=sinx (-1≤m≤1)
f(m)=-2(m-2)²+9
根据二次函数性质，开口向下，对称轴是m=2
所以当m<2时，f(m)是增函数
因为-1≤m≤1，
所以当m=-1时，即x∈2kπ-π/2时 f(m)取得最小值，最小值是-9
当m=1时，即x∈2kπ+π/2时 f(m)取得最大值，最大值是7