Question

函数f（x）=6cos²wx/2 +√3sinwx -3（w>0）在一个周期内的图像如图所示，A为

函数f（x）=6cos²wx/2 +√3sinwx -3（w>0）在一个周期内的图像如图所示，A为图像最高点，B,C为图像与x轴的交点，且三角形ABC为正三角形。 （1）求w的值及函数f（x）的值域 （2）若f（xo

Answer 1

函数f(x)=6cos^2(wx/2)+√3sinwx-3（w>0）在一个周期内的图像如图所示，A为图像最高点，B,C为图像与x轴的交点(B<0<C)，且三角形ABC为正三角形。（1）求w的值及函数f(x)的值域（2）若f(xo)=8√3/5，且x0∈(-10/3,2/3)，求f(x0+1)的值。
（1）解析：∵函数f(x)=6cos^2(wx/2)+√3sinwx-3（w>0）
∴f(x)=3coswx+√3sinwx=2√3sin(wx+π/3)
∵A为图像最高点，B,C为图像与x轴的交点(B<0<C)，且三角形ABC为正三角形
∴T/2=BC=AB=4==>T=8==>w=2π/T=π/4
∴f(x)=2√3sin(π/4x+π/3)，f(x) ∈[-2√3,2√3]

(2)解析：∵f(xo)=8√3/5，且x0∈(-10/3,2/3)
f(xo)=2√3sin(π/4x0+π/3)=8√3/5==>sin(π/4x0+π/3)=4/5
(π/4x0+π/3)∈(-π/2, π/2)==>cos(π/4x0+π/3)=3/5
∴f(xo+1)=2√3sin(π/4x0+π/4+π/3)=2√3[sin(π/4x0+π/3)* √2/2+cos(π/4x0+π/3)*√2/2]
=√6[sin(π/4x0+π/3)+cos(π/4x0+π/3)]
=7√6/5