Question

请教一下这道题∞/∞是怎么看出来的（分子分母分别详细说明，感谢🙏）？

Answer 1

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变限积分洛必达法则题库。。

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Answer 2

分子是一个变上限的定积分，而定积分的值可以认为是曲线和横轴包围的面积，横轴是t，曲线（被积函数）是（arctant）^2，t大于0时（积分区间是大于0的），arctant是增函数，（arctant）^2也是增函数，且随着上限趋向于正无穷，被积函数值也是趋向于正无穷的，那么面积也就是趋向于正无穷的，所以分子是趋向于正无穷的。
分母就更简单了，x趋向于正无穷，分母趋向于根号下x^2，也就是趋向于正无穷。

追问

arctanx随着x的增大趋向于二分之派，所以（arctanx)的平方是趋向哪的？

追答

哦哦 这里看岔了...被积函数有界，而积分区间是趋向于正无穷的，所以乘起来的面积也是趋向于正无穷的

追问

如果被积函数只是arctanx(x趋向无穷),它的值就是趋于二分之派，因为这里是（arctanx)的平方所以是趋于正无穷的吗？为什么两个趋于二分之派的值相乘就是正无穷了呢？？🤔

追答

回答里面说错了，反正切平方肯定是趋向于0.25π^2的。

首先，这个定积分表示曲线反正切平方跟t轴所包围的面积，这个没问题吧？然后，我们取任意一个大于0小于x的u，对应的被积函数的值就是(arctanu)^2，这也没问题吧？u前面的那段面积肯定是大于0的，因为arctan在这一段是增函数，所以u和x之间的面积肯定是大于(x-u）*(arctanu)^2的，随着x趋向于正无穷，后面这个面积显然是趋向于正无穷的吧，所以这个变上限的定积分也趋向于正无穷。

追问

arctanx是增函数（arctanx)的平方也是增函数是怎么确定的呢？还有（arctanx）的平方的图像与arctanx的图像是一样的吗？

追答

y=x^2，当x大于0时是增函数，这没问题吧？可以通过看一次导数的方式确定，y'=2x，因为x大于0，所以y'大于0，所以是增函数。
因为arctant在（0，无穷）都是大于0的，且是增函数；领v=arctant，y=v^2就是增函数（其一次导数是2v，因为v大于0，所以一次导数大于0，是增函数），它们的图像当然是不同的，你百度输入公式就能看的图像了。

因为在这里t是大于0的，所以arctant也是大于0的，且是增函数；而当x大于0时，函数y=x^2是增函数（y’=2x>0）。所以arctant的平方是增函数。他们的图像自然是不一样的，不在百度输入公式就能分别看到它们的图像了。

Answer 3

分享一种“理解”。由积分中值定理，有∫(0,x)(arctant)²dt=(x-0)(arctanξ)²=x(arctanξ)²，0<ξ<x。
而，0<ξ<x时，0<arctanξ<arctanx<π/2。∴0<(arctanξ)²<(π/2)²。∴x→∞时，∫(0,x)(arctant)²dt→∞，原式为“∞/∞”型。
供参考。

Answer 4

如你所想x趋于∞时arctan趋于π/2
所以到某个临界值m后可以认为之后都是arctan²也就是π²/4
所以分子=∫(0.m)+∫(m.∞)π²/4dt显然趋于无穷大

Answer 5

∫(0,x)(arctant)²dt>∫(1,x)(arctant)²dt>∫(1,x)(π/4)²dt=(x-1)π²/16→+∞