求极限lim((a^x+b^x+c^x)/3)^(1/x)(a>0,b>0,c>0.(当x趋近于0时
ln((a^x+b^x+c^x)/3)^(1/x)=ln((a^x+b^x+c^x)/3)/x
lim(x→0)ln((a^x+b^x+c^x)/3)/x
=lim(x→0)3/(a^x+b^x+c^x)*(a^xlna+b^xlnb+c^xlnc)/3/1 (罗比塔法则)
=lim(x→0)(a^xlna+b^xlnb+c^xlnc)/(a^x+b^x+c^x)
=(lna+lnb+lnc)/3 (a^0=1,b^0=1,c^0=1)
=(1/3)lnabc
=ln(abc)^(1/3)
原式=(abc)^(1/3)
极限思想解决问题
对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。
极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科，并且计算结果误差小到难于想像，因此可以忽略不计。
1、本题是1的无穷大次幂型的不定式。
2、本题的解答方法是运用关于e的重要极限。
3、具体的解答过程如下：
^^以下极限假定x→0;
原式
=lim [(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)
=lim e^(1/x) ln[(a^x+b^x+c^x)/3]
=e^lim (1/x) ln[(a^x+b^x+c^x)/3]
=e^J
J=lim (1/x) ln[(a^x+b^x+c^x)/3]
=lim [(a^x+b^x+c^x)/3-1]/x
=lim (a^x lna +b^x lnb +c^xlnb)/3 (洛必达法则)
=(lna+lnb+lnc)/3
所以，原极限=e^J=e^[(lna+lnb+lnc)/3]
扩展资料：
一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。
所有下标大于N的都落在(a-ε，a+ε)内；而在(a-ε，a+ε)之外，数列{xn} 中的项至多只有N个（有限个）。换句话说，如果存在某 ε0>0，使数列{xn} 中有无穷多个项落在(a-ε0，a+ε0) 之外，则{xn} 一定不以a为极限。
参考资料来源：百度百科-极限
过程？
