Question

请教大神们一道积分不等式的证明题~

麻烦啦~有点小难度

Answer 1

将积分区间分为[0,1/2]，[1/2,1]这样两段，采用微分中值定理容易证明。
例如在x=1点处使用微分中值定理有：f(x)=f'(c1)*x c1是区间[0,1/2]中的某一点
在区间[0,1/2]段积分有： |∫f(x)dx|=|f'(c1)|∫xdx=f'(c1)/8≤|f'(c)|/8,其中|f'(c)|=max|f'(x)|
同样可得在[1/2,1]的积分有 |∫f(x)dx|≤|f'(c)|/8
两式相加即可

追问

分成两段知道，但是我自己写的过程中发现，如果先不加绝对值写，那分出来得两个积分万一一正一负的话，那最后加起来再加绝对值那个分数不就比1/4小吗？为什么那么确保的拆成两段，两段都加上了绝对值？

追答

打数学符号太麻烦了，前一段的积分记为A，后一半的积分记为B，前面已经得出|A|+|B|≤|f'(c)|/4,于是|A+B|≤|A|+|B|≤|f'(c)|/4，A与B的符号如果相反则|A+B|＜|A|+|B|≤|f'(c)|/4，更加没问题啊