Question

设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是

A 若①存在，则f(0)=0
B 若②存在，则f(0)=0
C 若②存在，则f‘(0)存在
D 若③存在，则f‘(0)存在

Answer 1

A是错的，反例：f（x）=x^2+1
则lim(f(x)-f(-x))/x=lim[(x^2+1)-(x^2+1)]/x =lim(0/x)=lim0 =0
但是f(0)=1

追问

谢谢！那如果把A选项中①分子上的减号改为加号，A选项正确吗

追答

那是正确的，要使得极限存在必须分子趋于0，
即lim(f(x)+f(-x))=2f(0)=0

追问

谢谢！最后一个问题！其实我第一次提问的时候题目抄错了，A选项分子应该是加号，既然A是正确的，那麻烦帮我看一下B C D哪个是错误的！
万分感谢！！

追答

B也是一个意思：要使得2式成立，必然分子趋于0
于是limf(x)=f(0)=0
C呢，因为f(0)=0 了 ，所以limf(x)/x=lim[f(x)-f(0)]/x =f'(0) ，C也正确

D呢，反例f(x)=|x| 则x>=0时，lim[f(x)-f(-x)]/x =lim(x-x)/x =lim 0 =0 （右极限x->0+）
同理左极限也是0，于是 lim[f(x)-f(-x)]/x =0 （x->0）
但是f'(0)不存在