Question

已知二次函数y=ax^2+bx-2已知二次函数y=ax^2+bx-2的图象经过点（1，0）一次函数

图像经过原点和点（1，-b），其中a>b>0,且a,b为实数
⑴求一次函数表达式 （用含b的式子表示）
⑵试说明这两个函数的图象交于不同的两点
⑶设⑵中的两个交点的横坐标分别为x1,x2，求｜x1+x2｜的范围

Answer 1

(1)解析：∵一次函数图像经过原点和点（1，-b），其中a>b>0
∴其方程为：y=-bx
(2)解析：将一次函数代入二次函数得ax^2+bx-2=-bx
ax^2+2bx-2=0
⊿=4b^2+8a
∵a>b>0,
∴⊿>0，方程有二个不等实根，即二函数有二个不同的交点。
(3)解析：由(2)得ax^2+2bx-2=0
∵二次函数y=ax^2+bx-2的图象经过点（1，0）
∴a+b-2=0==>a=2-b
由a>b>0得2-b>b==>0<b<1
|x1-x2|=√(4b^2+8a)/a=2√(b^2+2a)/a
∴|x1-x2|==2√((b-1)^2+3)/(2-b)
设f(b)= 2√((b-1)^2+3)/(2-b)
F’(b)= (2b+4)/√((b-1)^2+3)/(2-b)^2
令2b+4=0==>b=-2
|x1-x2|=(√△）/（2-b)=2√[1+2b/(2-b)^2]>2,
又2b/(2-b)^2=2/(b+4/b-4)<2(∵b+4/b>5),
∴|x1-x2|的取值范围是(2,2√3).