Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（-4，

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（-4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF． （1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．①求证：∠BDE=∠ADP；②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）y=-x+4  （2）①见解析 y= x  （3）存在，点P的坐标为（2，2）或（8，-4）

解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4， 代入（4，0）得：4k+4=0， 解得：k=-1， 则直线AB的函数解析式为y=-x+4； （2）①由已知得： OB=OC，∠BOD=∠COD=90°， 又∵OD=OD， ∴△BDO≌△COD， ∴∠BDO=∠CDO， ∵∠CDO=∠ADP， ∴∠BDE=∠ADP， ②如图，连结PE， ∵∠ADP是△DPE的一个外角， ∴∠ADP=∠DEP+∠DPE， ∵∠BDE是△ABD的一个外角， ∴∠BDE=∠ABD+∠OAB， ∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD， ∴∠DPE=∠OAB， ∵OA=OB=4，∠AOB=90°， ∴∠OAB=45°， ∴∠DPE=45°， ∴∠DFE=∠DPE=45°， ∵DF是⊙Q的直径， ∴∠DEF=90°， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∴DF= DE，即y= x； （3）当BD：BF=2：1时， 如图，过点F作FH⊥OB于点H， ∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°， ∴∠DBO=∠BFH， 又∵∠DOB=∠BHF=90°， ∴△BOD∽△FHB， ∴ =2， ∴FH=2，OD=2BH， ∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°， ∴四边形OEFH是矩形， ∴OE=FH=2， ∴EF=OH=4- OD， ∵DE=EF， ∴2+OD=4- OD， 解得：OD= ，∴点D的坐标为（0， ）， ∴直线CD的解析式为y= x+ ， 由 ，得： ， 则点P的坐标为（2，2）； 当 时， 连结EB，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP， 而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA， ∵∠DEP=∠DPA， ∴∠DBE=∠DAP=45°， ∴△DEF是等腰直角三角形， 如图，过点F作FG⊥OB于点G， 同理可得：△BOD∽△FGB， ∴ ， ∴FG=8，OD= BG， ∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°， ∴四边形OEFG是矩形， ∴OE=FG=8， ∴EF=OG=4+2OD， ∵DE=EF， ∴8-OD=4+2OD， OD= ， ∴点D的坐标为（0，- ）， 直线CD的解析式为： ， 由 ，得： ， ∴点P的坐标为（8，-4）， 综上所述，点P的坐标为（2，2）或（8，-4）．

Answer 2

（1）y=-x+4  （2）①见解析 y= x  （3）存在，点P的坐标为（2，2）或（8，-4）    

解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，

代入（4，0）得：4k+4=0，
解得：k=-1，
则直线AB的函数解析式为y=-x+4；
（2）①由已知得：
OB=OC，∠bod=∠COD=90°，
又∵OD=OD，
∴△bdo≌△COD，
∴∠bdo=∠cdo，
∵∠cdo=∠adp，
∴∠bde=∠adp，
②如图，连结PE，    

∵∠adp是△DPE的一个外角，
∴∠adp=∠DEP+∠DPE，
∵∠bde是△abd的一个外角，
∴∠bde=∠abd+∠OAB，
∵∠adp=∠bde，∠DEP=∠abd，
∴∠DPE=∠OAB，
∵OA=OB=4，∠aob=90°，
∴∠OAB=45°，
∴∠DPE=45°，
∴∠DFE=∠DPE=45°，
∵DF是⊙Q的直径，
∴∠DEF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DF= DE，即y= x；
（3）当BD：bf=2：1时，
如图，过点F作FH⊥OB于点H，

∵∠DBO+∠Obf=90°，∠Obf+∠bfH=90°，
∴∠DBO=∠bfH，
又∵∠DOB=∠BHF=90°，
∴△bod∽△FHB，
∴ =2，
∴FH=2，OD=2BH，
∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，
∴四边形OEFH是矩形，
∴OE=FH=2，
∴EF=OH=4- OD，
∵DE=EF，
∴2+OD=4- OD，
解得：OD= ，∴点D的坐标为（0， ），
∴直线CD的解析式为y= x+ ，
由 ，得： ，
则点P的坐标为（2，2）；
当 时，
连结EB，同（2）①可得：∠adb=∠EDP，
而∠adb=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA，
∵∠DEP=∠DPA，
∴∠DBE=∠DAP=45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
如图，过点F作FG⊥OB于点G，

同理可得：△bod∽△FGB，
∴ ，
∴FG=8，OD= bg，
∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，
∴四边形OEFG是矩形，
∴OE=FG=8，
∴EF=OG=4+2OD，
∵DE=EF，
∴8-OD=4+2OD，
OD= ，
∴点D的坐标为（0，- ），
直线CD的解析式为： ，
由 ，得： ，
∴点P的坐标为（8，-4），
综上所述，点P的坐标为（2，2）或（8，-4）．

Answer 3

（1）由已知得：
OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，
又∵OD=OD，
∴△BDO≌△CDO，
∴∠BDO=∠CDO，
∵∠CDO=∠ADP，
∴∠BDE=∠ADP，
②连结PE，
∵∠ADP是△DPE的一个外角，
∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，
∵∠BDE是△ABD的一个外角，
∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，
∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，
∴∠DPE=∠OAB，
∵OA=OB=4，∠AOB=90°，
∴∠OAB=45°，
∴∠DPE=45°，
∴∠DFE=∠DPE=45°，
∵DF是⊙Q的直径，
∴∠DEF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DF=√2DE，即y=√2x；望采纳~