Question

如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，EM+CM的最小值为_

如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，EM+CM的最小值为______．

Answer 1

连接BE，与AD交于点M．则BE就是EM+CM的最小值． 取CE中点F，连接DF． ∵等边△ABC的边长为6，AE=2， ∴CE=AC-AE=6-2=4， ∴CF=EF=AE=2， 又∵AD是BC边上的中线， ∴DF是△BCE的中位线， ∴BE=2DF，BE ∥ DF， 又∵E为AF的中点， ∴M为AD的中点， ∴ME是△ADF的中位线， ∴DF=2ME， ∴BE=2DF=4ME， ∴BM=BE-ME=4ME-ME=3ME， ∴BE= 4 3 BM． 在直角△BDM中，BD= 1 2 BC=3，DM= 1 2 AD= 3 3 2 ， ∴BM= BD 2 + DM 2 = 3 2 7 ， ∴BE= 4 3 × 3 2 7 =2 7 ． ∵EM+CM=BE ∴EM+CM的最小值为 2 7 ．