Question

如图，抛物线y= x 2 +bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）。 ⑴求抛物线的

如图，抛物线y= x 2 +bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）。 ⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；⑶点M（m，0）是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值。





Answer 1

解：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y= x 2 +bx-2上， ∴ ×（-1） 2 +b×（-1）-2=0，解得b=- ， ∴抛物线的解析式为y= x 2 - x-2， y= x 2 - x-2= （x 2 -3x-4）= （x- ） 2 - ， ∴顶点D的坐标为（ ，- ）； （2）当x=0时y=-2， ∴C（0，-2），OC=2， 当y=0时， x 2 - x-2=0， ∴x 1 =-1，x 2 =4， ∴B（4，0）， ∴OA=1，OB=4，AB=5 ∵AB 2 =25，AC 2 =OA 2 +OC 2 =5，BC 2 =OC 2 +OB 2 =20， ∴AC 2 +BC 2 =AB 2 ， ∴△ABC是直角三角形； （3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小； 设抛物线的对称轴交x轴于点E， ∵ED∥y轴， ∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM， ∴△C′OM∽△DEM， ∴ ， ∴ ， ∴m= 。