Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．（1）求证：BC是

如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．（1）求证：BC是⊙O切线；（2）若BD=5，DC=3，求AC的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD；
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠3．（1分）
∵OA=OD，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠3．
∴OD∥AC．（2分）
∴∠ODB=∠ACB=90°．
∴OD⊥BC．
∴BC是⊙O切线．（3分）

（2）解：过点D作DE⊥AB，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴CD=DE=3．
在Rt△BDE中，∠BED=90°，
由勾股定理得：BE＝

BD2?DE2

＝

52?32

＝4，（4分）
∵∠BED=∠ACB=90°，∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC．（5分）
∴

BE

BC

＝

DE

AC

．
∴

4

8

＝

3

AC

．
∴AC=6．（6分）