Question

已知函数f（x）的定义域为[0，1]且同时满足：①对任意x∈[0，1]总有f（x）≥2；②f（1）=3；③若x1≥0，x

已知函数f（x）的定义域为[0，1]且同时满足：①对任意x∈[0，1]总有f（x）≥2；②f（1）=3；③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-2．（I）求f（0）的值；（II）求f（x）的最大值；（III）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝?12(an?3)(n∈N*)，求f（a1）+f（a2）+…+f（an）．

Answer 1

（Ⅰ）令x₁=x₂=0，
由③知f（0）=2f（0）-2?f（0）=2；
（Ⅱ）任取x₁x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，
则0＜x₂-x₁≤1，∴f（x₂-x₁）≥2
∴f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）
=f（x₂-x₁）+f（x₁）-2-f（x₁）=f（x₂-x₁）-2≥0
∴f（x₂）≥f（x₁），则f（x）≤f（1）=3．
∴f（x）的最大值为3；
（Ⅲ）由Sn＝?

1

2

(an?3)知，
当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，an＝?

1

2

an+

1

2

an?1
∴an＝

1

3

an?1(n≥2)，又a1＝1，∴an＝

1

3n?1

∴f(an)＝f(

1

3n?1

)＝f(

1

3n

+

1

3n

+

1

3n

)＝f(

2

3n

)+f(

1

3n

)?2
=3f(

1

3n

)?4＝3f(an+1)?4
∴f(an+1)＝

1

3

f(an)+

4

3

∴f(an+1)?2＝

1

3

(f(an)?2)
又f（a₁）-2=1∴f(an)?2＝(

1

3

)n?1，∴f(an)＝(

1

3

)n?1+2
∴f(a1)+f(a2)++f(an)＝2n+

3

2

?

1

2×3n?1

.