(1)探究:如图1,E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,且∠EAF=45°,请猜测并写出线段DF、BE、EF之间的

(1)探究:如图1,E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,且∠EAF=45°,请猜测并写出线段DF、BE、EF之间的等量关系(不必证明);(2)变式:如图2,E、F... (1)探究:如图1,E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,且∠EAF=45°,请猜测并写出线段DF、BE、EF之间的等量关系(不必证明);(2)变式:如图2,E、F分别在四边形ABCD的边BC、CD上,∠B+∠D=180°,AB=AD,∠EAF=12∠BAD,则线段BE、EF、FD的等量关系又如何?请加以证明;(3)应用:在条件(2)中,若∠BAD=120°,AB=AD=1,BC=CD(如图3),求此时△CEF的周长. 展开
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(1)EF=BE+DF.

(2)EF=BE+DF.
证明:延长CB至M,使BM=DF,
∵∠ABC+∠D=180°,∠1+∠ABC=180°,
∠1=∠D,
又∵AB=AD,
∴△ABM≌△ADF.
∴AF=AM,∠2=∠3.
∵∠EAF=
1
2
∠BAD,
∴∠2+∠4=
1
2
∠BAD=∠EAF.
∴∠3+∠4=∠EAF,即∠MAE=∠EAF.
又∵AE=AE,
∴△AME≌△AFE.
∴EF=ME,即EF=BE+BM.
∴EF=BE+DF.

(3)连接AC,
∵AB=AD,BC=CD,AC=AC,
∴△ABC≌△ADC(SSS).
∴∠B=∠D,∠DAC=∠BAC.
∵∠B+∠D=180°,
∴∠B=90°,∠BAC=
1
2
∠BAD=60°.
∴在Rt△ABC中,
BC=ABtan60°=
3

由(2)得EF=BE+DF.
∴△CEF的周长=CE+CF+EF=2BC=2
3
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