Question

已知函数f（x）=（x+1）e-x（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设函数φ（x）=

已知函数f（x）=（x+1）e-x（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设函数φ（x）=xf（x）+tf′（x）+e-x，存在x1，x2∈[0，1]，使得成立2φ（x1）＜φ（x2）成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵函数的定义域为R，f′(x)＝?

x

ex

，
∴当x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）假设存在x₁，x₂∈[0，1]，使得2φ（x₁）＜φ（x₂）成立，
则2[φ（x）]_min＜[φ（x）]_max．
∵φ(x)＝xf(x)+tf′(x)+e?x＝

x2+(1?t)x+1

ex

，
∴φ′（x）=

?[x2?(1+t)x+t]

ex

=-

(x?t)(x?1)

ex

，
①当t≥1时，φ′（x）≤0，φ（x）在[0，1]上单调递减，
∴2φ（1）＜φ（0），即t＞3?

e

2

＞1；
②当t≤0时，φ′（x）＞0，φ（x）在[0，1]上单调递增，
∴2φ（0）＜φ（1），即t＜3-2e＜0；
③当0＜t＜1时，在x∈[0，t]，φ′（x）＜0，φ（x）在[0，t]上单调递减
在x∈（t，1]，φ′（x）＞0，φ（x）在[t，1]上单调递增
所以2φ（t）＜max{φ（0），φ（1）}，
即2

t+1

et

＜max{1，

3?t

e

}--（*）
由（Ⅰ）知，g(t)＝2

t+1

et

在[0，1]上单调递减，
故

4

e

≤2

t+1

et

≤2，
而

2

e

≤

3?t

e

≤

3

e

，所以不等式（*）无解
综上所述，存在t∈(?∞，3?2e)∪(3?

e

2

，+∞)，使得命题成立．