Question

若n是正整数，记1×2×3×…×n=n！，比如1！=1，4！=1×2×3×4=24，等等，若M=1！×2！×3！×4！×5！

若n是正整数，记1×2×3×…×n=n！，比如1！=1，4！=1×2×3×4=24，等等，若M=1！×2！×3！×4！×5！×6！×7！×8！×9！，则M的约数中是完全平方数的共有（　　）A．504个B．672个C．864个D．936个

Answer 1

∵M=1！×2！×3！×4！×5！×6！×7！×8！×9！，
∴M=1×2⁸×3⁷×4⁶×5⁵×6⁴×7³×8²×9¹，
M=2³⁰×3¹³×5⁵×7³，
因为每个平方数内含有的每种质因数的次数都是偶次的，
如25=5²，144=2⁴×3²，
所以2³⁰含有的平方数约数有2⁰、2²、2⁴…2³⁰共16个，
3¹³含有的平方数约数有3⁰、3²、3⁴…3¹²共7个，
5⁵含有的平方数约数有5⁰、5²、5⁴共3个，
7³含有的平方数约数有7⁰、7²共2个，
所以M含有平方数约数为16×7×3×2=672，
故选B．