Question

已知函数f（x）=2x3+3（1-2a）x2+6a（a-1）x（a∈R）（1）求y=f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x

已知函数f（x）=2x3+3（1-2a）x2+6a（a-1）x（a∈R）（1）求y=f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=0有且仅有一个实数根，求实数a的取值范围；（3）是否存在这样的常数a∈(?∞，32]，使得直线y=1与y=f（x）相切，如果存在，求出a，否则请说明理由．

Answer 1

（1）由f（x）=2x³+3（1-2a）x+6a（a-1）x求导数得到f'（x）=6x²+6（1-2a）x+6a（a-1）
=6（x-a）（x-a+1）
∴y=f（x）在（-∞，a-1]上为增函数；
在[a-1，a]上为减函数；在[a，+∞）上为增函数．…（4分）
（2）由f（x）=x[2x²+3（1-2a）x+6a（a-1）]
对于关于x的二次方程2x²+3（1-2a）x+6a（a-1）=0无实根或仅有零根，仅有零根不可能则判别式△=[3（1-2a）]²-4?2?6a（a-1）
=3（-2a+3）（2a+1）＜0
∴a＞

3

2

或a＜?

1

2

故所求a的范围为(?∞，?

1

2

)∪(

3

2

，+∞)…（8分）
（3）设y=1与y=f（x）相切于点（x₀，y₀）则

y0＝2 x 3 0 +3(1?2a) x 2 0 +6a(a?1)x0＝1 6(x0?a)(x0?a+1)＝0

在x₀=a时，则2a³+3（1-2a）a²+6a²（a-1）=1
∴2a3?3a2＝1，而2a3?3a2＝2a2(a?

3

2

)≤0或a≤

3

2

时恒成立．
∴2a³-3a²=1不可能成立．
在x₀=a-1时，则2（a-1）³+3（1-2a）（a-1）²+6a（a-1）²=1
化简为2a3?3a2＝0，则a＝0或a＝

3

2

符合a≤

3

2

．
因此所求符合条件的a值分别为0或

3

2

．…（13分）