Question

已知函数f（x）=x+2x+alnx（1）若f（x）在x=1处取得极值．求a的值；（2）若f（x）在[1，2]上为减函数，求

已知函数f（x）=x+2x+alnx（1）若f（x）在x=1处取得极值．求a的值；（2）若f（x）在[1，2]上为减函数，求a的取值范围；（3）若g（x）=f（x）-x，当a＞0时，是否存在a使得g（x）在（0，e]上有最小值0，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）求导函数，f′（x）=1-

2

x2

+

a

x

，f（x）在x=1处取得极值，f′（1）=0，a=1．
（2）若f（x）在[1，2]上为减函数，则f′（x）=1-

2

x2

+

a

x

≤0恒成立，即x²+ax-2≤0，
a≤

2

x

?x，只需a≤（

2

x

?x）_min，（

2

x

?x）′=?

2

x2

?1＜0，

2

x

?x单调递减，当x=2时，（

2

x

?x）_min，=-1，
所以a的取值范围a≤-1；
（3）g（x）=f（x）-x=

2

x

+alnx，g′（x）=-

2

x2

+

a

x

=

ax?2

x2

．
由ax-2=0，得x=

2

a

（＞0），
当0＜

2

a

＜e①时，若x∈（0，

2

a

）则g′（x）＜0，若x∈（

2

a

，e）则g′（x）＞0，
所以此时g（x）最小值=g（

2

a

）=a+aln

2

a

=0，

2

a

=

1

e

，a=2e，符合①．
 当

2

a

≥e②时，g′（x）＜0，此时g（x）最小值=g（e）=

2

e

+a=0，a=-

2

e

（舍去）
综上所述，a=2e．